Konsep Pemetaan : Jenis-Jenis Fungsi dan Sifat-Sifat Fungsi

Dalam materi pemetaan, pastinya Anda akan sering berhubungan dengan yang namanya fungsi. Lalu, apakah yang dimaksud dengan fungsi? Dan apa saja jenis-jenis fungsi dan sifat-sifat fungsi? Berikut ulasan selengkapnya.

[ez-toc]

Pengertian Fungsi

Jika membahas materi tentang fungsi, maka akan sangat erat hubungannya dengan relasi. Jadi, bisa disimpulkan bahwa fungsi merupakan relasi yang memiliki aturan khusus.

Relasi ini terjadi jika setiap anggota dari sebuah himpunan dipasangkan dengan setiap anggota himpunan lain. Agar bisa dikatakan sebagai fungsi, maka harus ada syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

  1. Anggota himpunan A memiliki pasangan
  2. Setiap anggota himpunan A memiliki pasangan dengan satu anggota himpunan B.

Jenis-Jenis Fungsi

Secara umum, jenis fungsi terbagi menjadi dua macam, yaitu:

Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar merupakan sebuah fungsi yang terdapat aljabar. Fungsi aljabar sendiri dibedakan menjadi:

Fungsi Konstan

Contoh fungsi konstan adalah f(x) = k dan k adalah konstanta. Jika nilai x disubsitusikan, maka hasilnya akan konstan. Grafik yang tergambar berupa garis datar sejajar sumbu X.

Fungsi Identitas

Fungsi identitas ditulis dengan persamaan f(x) = x. grafiknya berupa garis dengan sudut 450 terhadap sumbu X.

Fungsi Linear

Dituliskan dengan persamaan f(x) = ax + b, a ≠ 0. Grafikya berupa garis.

Fungsi Kuadrat

Dituliskan dengan persamaan f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Grafiknya berupa kurva parabola.

Fungsi Polinom

Merupakan bentuk umum persamaan dari fungsi kuadrat fungsi linear, fungsi identitas, dan fungsi konstan. Ditulis dengan f(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2x2 + a1x +a0

Fungsi Irasional

Ditulis dengan f(x) = √x+1

Baca Juga

Fungsi Transenden

Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak mengandung aljabar. Fungsi transenden dibagi menjadi:

Fungsi Pecahan

Fungsi yang terbentuk dari pecahan atau terdiri dari pembilang dan penyebut. Contohnya adalah persamaan f(x) =

Konsep Pemetaan : Jenis-Jenis Fungsi dan Sifat-Sifat Fungsi

Fungsi Ganjil

Fungsi yang memenuhi persamaan f(-x) = -f(x). Grafik yang tergambar berbentuk simetris dnegan titik pusat O.

Fungsi Genap

Fungsi yang memenuhi persamaan f(-x) = f(x). Grafik yang tergambar berbentuk simetris terhadap sumbu Y.

Sifat-Sifat Fungsi

Setelah mengetahui jenis-jenis fungsi dan sifat-sifat fungsi berikut akan menambah wawasan kalian ketika bertemu dengan soal pemetaan. Berikut sifat fungsi:

Fungsi Into

Fungsi into adalah jika anggota himpunan B tidak memiliki pasangan dari anggota himpunan A.

Fungsi Injektif

Fungsi injektif adalah jika setiap anggota himpunan B memiliki satu pasangan dengan anggota himpunan A.

Fungsi Surjektif

Fungsi surjektif adalah tiap anggota himpunan B merupakan pasangan dari anggota himpunan A.

Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif adalah anggota himpunan B memiliki pasangan dari anggota himpunan A dan setiap anggota himpunan B hanya satu yang berpasangan dengan anggota himpunan A.

Nah, itulah penjelasan mengenai jenis-jenis fungsi dan sifat-sifat fungsi. Semoga informasi di atas dapat menambah pengetahuan Anda di materi pemetaan.

Cara Konversi Sudut ke Radian dan Sebaliknya

Dalam ilmu matematika Anda pasti tidak asing dengan yang namanya sudut. Nah, seperti yang diketahui bahwa besaran sudut terbagi menjadi dua, yaitu derajat dan radian. Tetapi, ada kalanya dalam soal yang diberikan dan rumus yang akan dipakai diperlukan konversi antar besaran. Untuk mempermudah Anda dalam mengkonversi satuan besaran sudut, berikut cara konversi sudut ke radian dan sebaliknya.

[ez-toc]

Pengertian Derajat dan Radian

Sudut merupakan simpangan arah dua garis lurus yang bertemu pada suatu titik sudut. Untuk menyatakan besaran sebuah sudut digunakan satuan derajat dan radian. Dalam satu putaran sudut penuh memiliki besar sudut 360 derajat atau 2π radian.

Dalam satuan derajat penuh memiliki besar sudut 360 derajat. Jadi, setiap 1 derajat berarti 1/360 putaran dalam mengelilingi satu putaran sudut penuh. Sedangkan radian merupakan satuan ukuran sudut pusat lingkaran yang memotong busur dengan panjang sama dengan radius lingkaran. Dalam satu putaran penuh memiliki besar sudut 2π radian.

Ukuran sudut yang bisa digunakan adalah derajat dan radian. Jadi setiap 1 radian bisa didefinisikan dengan 1800 per radian. Begitu pula dengan ukuran besar 1 derajat yang bisa didefinisakan dengan π/180. Agar lebih memudahkan Anda dalam konversi sudut radian dan sebaliknya, ada baiknya Anda mempelajari rumus konversi sudut ke radian.

Baca Juga

Cara Mengubah Derajat ke Radian

Mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian, diperlukan ketelitian dalam meletakkan rumus kunci konversi. Rumus konversi derajat ke radian adalah π/180. Untuk mengubah ukuran sudut tersebut bisa Anda lakukan dengan cara berikut ini:

Menuliskan ukuran besar sudut dari derajat yang ingin diubah ke ukuran radian. Misalnya, Anda ingin mengubah sudut 225°.

Mengalikan besar ukuran sudut yang ingin diubah dengan rumus kunci konversi derajat ke radian (π/180). Misalnya, dengan mengalikan sudut 225° x π/180

Lakukan penghitungannya. Misalnya, 225° x π/180 = 225π/180

Untuk mendapatkan jawabannya, sederhanakan pecahan tersebut. Bilangan sederhana dari 225π/180 adalah 5π/4.

Menuliskan jawabannya. Jadi, 225° = 5π/4

Cara Mengubah Radian ke Derajat

Berbeda dengan konversi derajat ke radian, konversi radian ke derajat menggunakan kunci π radian sama dengan 180°. Untuk mempermudah Anda dalam melakukan konversi radian ke derajat, Anda bisa menggunakan langkah berikut ini:

Kunci dalam konversi radian ke derajat adalah 1 radian sama dengan 180°. Misalnya Anda ingin mengubah 1/3 π radian.

Mengalikan dengan 180/π. Misalnya, diketahui 1/3 π, maka bisa ditulis dengan π/3. Jadi sebelum dihitung bisa ditulis dengan π/3 x 180/π.

Lakukan penghitungannya. Jadi, π/3 x 180/π = 180π/3π = 60°

Nah, itulah cara untuk konversi sudut ke radian dan sebaliknya. Cara di atas dapat memudahkan Anda dalam mengubah besaran sudut yang bisa disesuaikan dengan rumus yang sudah tersedia. Semoga informasi di atas bermanfaat untuk Anda.

Pengertian dan Jenis Peluang Suatu Kejadian

Dalam ilmu matematika selain menghitung segala hal dengan pasti, ada juga materi peluang untuk menghitung segala kemungkinan yang terjadi. Nah, bagi Anda yang ingin mempelajari peluang suatu kejadian, simak ulasan berikut ini.

[ez-toc]

Definisi Peluang, Ruang Sampel, dan Frekuensi Harapan

Peluang merupakan ilmu yang mempelajari segala kemungkinan yang terjadi pada suatu kejadian. Pada perhitungan mengenai peluang ini segala kemungkinan bisa terjadi dengan sukses ataupun mengalami kegagalan.

Materi peluang ini juga erat hubungannya dengan materi statistika dengan beberapa submateri yang bisa Anda pelajari di bawah ini.

Dalam menghitung sebuah peluang kejadian, Anda juga harus memperhatikan ruang sampel. Ruang sampel sendiri harus memuat segala kejadian yang mungkin terjadi. Contohnya saja ketika menghitung peluang uang logam, ruang sampelnya sendiri terdiri dari gambar dan angka. Jadi, peluang yang terjadi pada suatu kejadian memuat segala kemungkinan kejadian dibanding dengan semua kemungkinan yang terjadi.

Baca Juga

Selain itu, ada pula frekuensi harapan yang menghitung kemungkinan segala kejadian yang bisa terjadi. Untuk menghitung frekuensi harapan bisa diperoleh hasil perkalian antara peluang dengan kejadian dan dapat dirumuskan dengan:

Definisi Peluang, Ruang Sampel, dan Frekuensi Harapan

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Dalam materi peluang suatu kejadian, ada materi mengenai peluang komplemen suatu kejadian yang merupakan kejadian yang berkebalikan dengan kejadian yang sebenarnya.

Misalnya pada percobaan A, maka kejadian yang tidak terjadinya kejadian A dinamakan dengan komplemen kejadian A (Ac). jadi, jika diketahui peluang berhasil 0,75. Maka peluang gagal adalah 0,25. Untuk memudahkan Anda  peluang komplemen suatu kejadian digunakan persamaan:

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Peluang Kejadian Majemuk 

Peluang kejadian majemuk adalah peluang dua kejadian yang terjadi. Biasanya digunakan notasi union ( U ). Misalnya untuk menentukan dua buah kejadian A dan B dalam ruang sampel, maka peluang kejadian majemuk digunakan rumus:

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Kejadian Majemuk Saling Lepas

Yaitu dua kejadian dalam percobaan yang saling lepas jika masing-masing kejadian tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Jika terjadi dua kejadian A dan B, maka rumus peluang kejadian majemuk saling lepas yang digunakan adalah

Peluang Kejadian Majemuk Saling Lepas

Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas

Yaitu dua kejadian dalam percobaan yang saling bebas. Jadi pada kejadian A tidak saling mempengaruhi kejadian B.

Misalnya dalam pelemparan koin yang pertama dilempar muncul sisi angka dan yangg kedua muncul sisi gambar. Untuk peluang kejadian majemuk saling bebas dapat menggunakan rumus:

Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas

Peluang Kejadian Bersyarat

Peluang kejadian bersyarat adalah peluang kejadian yang diawali dengan kejadian bersyarat. Misalnya dalam pelemparan dua koin logam secara bersamaan, peluang munculnya mata uang dengan kedua sisi berupa angka dan salah satu sisi muncul angka. Untuk menentukan peluang kejadian bersyarat munculnya kejadian A dengan kejadian B yang muncul lebih dulu digunakan rumus:

Peluang Kejadian Bersyarat

Nah, itulah beberapa rumus yang bisa digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian. Meskipun hasilnya bukan merupakan hasil yang pasti terjadi, dengan mempelajari materi di atas dapat memperkiraan beberapa peluang kejadian di kehidupan sehari-hari.

Kejadian Majemuk: Kejadian Saling Lepas dan Kejadian Saling Bebas

Dalam materi peluang juga dijelaskan mengenai beberapa kejadian sederhana dan kejadian majemuk. Nah, kali ini Anda bisa mempelajari kejadian majemuk yang terdiri dari kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.

Apakah beda di antara keduanya? Berikut ulasan selengkapnya.

[ez-toc]

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Dari teori himpunan diketahui bahwa gabungan anggota himpunan A dan B disimbolkan dengan A U B. sehingga dapat dirumuskan:

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Untuk menentukan rumus peluang gabungan dua kejadian, maka digunakan:

rumus peluang gabungan dua kejadian

Contohnya, jika terdapat sebuah dadu dengan 6 sisi dan dilempar hanya sekali. Berapakah peluang kejadian muncul angka genap dan angka prima?

Diketahui ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6,}. Sehingga n(S) = 6   

Misal A adalah kejadian muncul angka dadu genap. Maka A = {2,4,6}

B adalah kejadian muncul angka dadu prima. Maka B ={2,3,5}

A ∩ B = {2}

Untuk menentukan peluang P (A), P (B), dan P (A ∩ B) adalah

rumus menentukan peluang

Sehingga peluang gabungannya adalah

rumus peluang gabungan

Peluang Kejadian Saling Lepas

Kejadian saling lepas pada kejadian A atau kejadian B terjadi jika irisan kedua bilangan tersebut adalah himpunan kosong (A ∩ B = 0).

Baca juga

Jika diketahui kejadian saling lepas pada sampel S adalah A U B, maka rumus yang digunakan adalah

rumus Peluang Kejadian Saling Lepas

Misalnya dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu dengan nomor yang berurutan. Kemudian satu kartu diambil secara acak. Jika A adalah kejadian kartu terambil nomor genap dan B adalah kejadian kartu terambil nomor ganjil. Berapakah peluang kejadian A atau B?

Diketahui sampel S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, maka n(S) = 10

Kejadian A = {2,4,6,8,10}, maka n(A) = 5

rumus kejadian saling lepas

Kejadian B = {1,3,5,7,9}, maka n(B) = 5

kejadian saling lepas

Maka peluang A U B adalah

menentukan peluang kejadian saling lepas

Peluang Kejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas terjadi terjadi jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B, begitu pula sebaliknya.

Jadi, jika terdapat kejadian saling bebas pada sampel S, maka peluang kejadian A ∩ B dapat dirumuskan:

Peluang Kejadian Saling Bebas

Misalnya jika terdapat dua buah dadu dengan enam sisi dan dilemparkan sekali secara bersamaaan. Jika A adalah kejadian muncul dadu pertama adalah angka 3, dan B adala kejadian muncul dadu kedua adalah angka 5. Apakah dua kejadian tersebut bisa dinamakan dengan kejadian saling bebas?

Diketahui masing-masing anggota himpunan A dan B:

  • A ={(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}. Maka n (A) = 6
  • B = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}. Maka n (B) = 6

Karena ada dua dadu yang dilempar bersamaan, maka n(S) = 62 -= 36

Peluang masing-masing himpunan:

rumus peluang suatu kejadian saling bebas

Untuk mengecek kejadian saling bebas, maka

rumus peluang kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas

Karena berlaku persamaan di atas, maka kejadian A dan B adalah kejadian saling bebas.

Nah, itulah penjelasan mengenai peluang kejadian majemuk yang terbagi menjadi kejadian saling lepas dan saling bebas. Semoga informasi di atas bermanfaat untuk Anda.

Rumus Luas Daerah dan Volume Benda Putar

Salah satu penggunaan operasi integral adalah untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Nah, berikut ini cara mudah menghitung dengan konsep operasi integral yang bisa Anda pelajari berikut ini.

[ez-toc]

Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, Anda bisa menggunakan rumus diskriminan persamaan kuadrat untuk jenis soal tertentu. Tetapi ternyata menghitung luas daerah yang dibatasi kurva bisa menggunakan konsep operasi integral.

Dengan menggunakan operasi integral akan membuat menghitung soal luas daerah menjadi semakin mudah.

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva bisa menggunakan rumus cepat berikut ini.

luas daerah dan volume benda putar

Rumus tersebut dapat diperoleh dari konsep integral dan limit. Nah, untuk memahamkan Anda, coba perhatikan contoh soal berikut ini.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi y = x2 – 16 dengan sumbu x!

Hal pertama yang harus dikerjakan adalah dengan menggambar kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x

Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Terlihat dari gambar tersebut bahwa batas integral adalah 4 dan -4. Sehingga luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x adalah sebagai berikut.

menghitung volume benda putar

Jika menggunakan rumus cepat di atas, dapat diketahui bahwa a = 1, b = 0, c = -16. Sehingga luasanya adalah

rumus menghitung luas daerah dan volume benda putar

Menghitung Volume Benda Putar

Sama seperti halnya menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, menghitung volume benda putar juga menggunakan konsep operasi integral.

Baca juga

Konsep integral ini bisa digunakan untuk menghitung rumus luas daerah dan volume benda putar yang disesuaikan dengan kurva yang menjadi pembatasnya.

Salah satu contohnya adalah jika Anda menghitung volume tabung. Seperti halnya yang Anda ketahui bahwa untuk menghitung volume tabung didapatkan dari luas alas dikali tinggi. Nah, jika tabung diputar, maka rumus yang didapatkan adalah

Menghitung Volume Benda Putar

Untuk menghitung volume benda putar, Anda juga harus memperhatikan luasan benda yang diputar. Untuk rumus volume benda putar sumbu x yang dibatasi 1 kurva adalah sebagai berikut

volume benda putar

Sedangkan untuk rumus volume benda putar sumbu y yang dibatasi 1 kurva adalah

rumus benda putar

Untuk menentukan volume benda putar bisa menggunakan dua metode, yaitu metode cakram dan metode silinder. Pada metode cakram bisa digunakan jika diambil potongan tinggi benda yang sejajar dengan sumbu putarnya. Sehingga rumus yang diguanakan

mencari luas daerah dan volume benda putar

Sedangkan untuk metode cincin silinder digunakan jika luasan benda diputar pada sumbu tertentu. Sehingga terbentuk benda putar dengan volume yang memiliki besar luasan dikali dengan keliling putarannya. Sehingga berlaku rumus

rumus mencari volume benda putar

Sebagai contohnya, hitung volume benda putar menggunakan metode cakram yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar pada sumbu x!

cara menghitung volume benda putar

Nah itulah rumus yang digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Semoga ulasan di atas bermanfaat bagi Anda untuk mengerjakan beberapa soal matematika.

Pengertian dan Rumus Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

Dalam pelajaran matematika terdapat materi integral yang perlu Anda pelajari lebih lanjut. Jika dilihat dari pengertian integral, terdapat dua jenis integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Untuk informasi lebih lanjut, simak ulasan berikut ini.

[ez-toc]

Pengertian Integral

Integral merupakan salah satu bentuk operasi matematika yang merupakan kebalikan dari operasi turunan fungsi. Selain itu integral juga bisa didefinisikan sebagai limit dari jumlah atau luas daerah tertentu. Secara simbol, integral dinotasikan dengan ʃ dx. Dari pengertian tersebut integral dibagi menjadi dua jenis, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah invers atau kebalikan dari turunan. Notasi integral tak tentu bisa dituliskan dengan ʃ f(x) dx yang bisa dibaca dengan integral dari fungsi f(x). Secara umum, integral tak tentu merupakan penjumlahan dari f(x) dan C dan bisa dinotasikan dengan

pengertian integral

Integral dan turunan merupakan dua hal yang tak bisa dipisahkan, sehingga rumus integral bisa diperoleh dari rumus turunan. Jika rumus turunan dituliskan dengan

rumus integral

Maka rumus integral aljabar yang diperoleh adalah

pengertian dan rumus integral

Integral Tentu

Integral tak tentu dan integral tentu bisa didefinisikan dari hal di atas. Jika integral tak tentu adalah invers turunan, maka integral tentu adalah limit dari jumlah atau luas daerah tertentu.

Teori ini pertama kali dikembangkan dan dikenalkan oleh ilmuwan yang bernama Newton dan Leibinz yang kemudian dikembangkan kembali penggunaannya  oleh seorang ilmuwan bernama Riemann.

Penggunaan integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas bawah kurva dengan batas tertentu atau bisa juga digunakan untuk menghitung volume benda jika diputar.

Baca Juga

Rumus luas daerah sendiri biasanya sudah dibatasi dengan kurva f(x),x = a, x = b, dan sumbu –x. Sehingga pada integral tentu ada batas atas dan batas bawah yang perlu dipahami terlebih dahulu. Untuk notasi integral tentu sendiri adalah sebagai berikut:

pengertian integral tentu

Integral tentu memiliki beberapa sifat yang akan membantu Anda untuk menyelesaikan beberapa soal integral. Sifat-sifat penggunaan integral ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari konsep teori integral tentu. Beberapa sifat dari integral adalah sebagai berikut:

rumus integral tak tentu dan integral tentu

Integral Trigonometri

Fungsi trigonometri juga bisa dioperasikan dengan menggunakan integral. Pada umumnya, integral trigonometri memiliki cara pengoperasian sama seperti integral aljabar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus integral trigonometri adalah sebagai berikut:

integral trigonometri

Selain menggunakan rumus tersebut, ada pula rumus lain yang digunakan dalam pengoperasioan integral trigonometri. Berikut rumus integral trigonometri:

rumus integral trigonometri

Baca Juga

Contoh Soal Trigonometri dan Pembahasannya

Jika diketahui FI(x) = x2 – 4 dan F (3) = 5. Maka tentukan fungsi dari y = F(x)

Pembahasan soal

penyelesaian integral tentu dan integral tak tentu

Nah, itulah materi mengenai integral yang banyak digunakan dalam mengerjakan beberapa soal operasi matematika. Dengan memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu akan membantu Anda dalam menyelesaikan ragam soal matematika. Semoga informasi di atas dapat membantu proses belajar Anda. Terus berlatih soal agar semakin mahir mengerjakan soal integral.